已知∠AOB=60°,P为平面AOB外一点,∠POA=∠POB=45°,P到面AOB距离为3,求PO,PO与面AOB所成的角的正弦值为

Question

已知∠AOB=60°,P为平面AOB外一点,∠POA=∠POB=45°,P到面AOB距离为3,求PO,PO与面AOB所成的角的正弦值为

Answer 1

作P在平面AOB上的射影H,则PH=3,连结OH、∠POH为PO与平面AOB的夹角,
作HD⊥OA、连结PD,
∵PH⊥平面AOB,∴PH⊥OH、PH⊥DH,∴PD⊥OA,
∵∠POA=∠POB=45°,∴∠HOA=∠HOB=30°,
设HD=a,则OH=2a,OD=PD=√3a,
Rt△PHD中,PD^2=PH^2+HD^2,即(√3a)^2=3^2+a^2,
解得：a=3√2/2（舍去了负值）,OH=2a=3√2
Rt△PHO中,PO=√(PH^2+OH^2)=√(3^2+(3√2)^2)=3√3,
sinPOH=PH/PO=3/(3√3)=√3/3