设f(x)=(a^x+a^-x)/2,其中a>0,x>=0,又M=f（x+1),N=f(x)*f(1),比较M,N的大小

Question

设f(x)=(a^x+a^-x)/2,其中a>0,x>=0,又M=f（x+1),N=f(x)*f(1),比较M,N的大小

Answer 1

M=f（x+1))=1/2(a^x+1+1/a^x+1)=1/4(a^x+1+1/a^x+1)+1/4(a^x+1+1/a^x+1)
N=f(x)*f(1)=1/4(a^x+1+1/a^x+1)+1/4(a^x-1+1/a^x-1)
M-N=1/4(a^x+1+1/a^x+1)-1/4(a^x-1+1/a^x-1)=1/4（a^x+1-a^x-1）（1-1/a^2x）
当a>1时,a^x为增函数
x+1＞x-1,a^x+1＞a^x-1,a^x+1-a^x-1＞0
x＞0时,a^x＞1 ,a^2x＞1, 1/a^2x＜1,1-1/a^2x＞0
所以1/4（a^x+1-a^x-1）（1-1/a^2x）＞0,M＞N
当0＜a＜1时,a^x为减函数
x+1＞x-1,a^x+1＜a^x-1,a^x+1-a^x-1＜0
x＞0时,a^x＜1 ,a^2x＜1, 1/a^2x＞1,1-1/a^2x＜0
所以1/4（a^x+1-a^x-1）（1-1/a^2x）＞0,M＞N
综上可得M＞N