已知f(x)为二次函数且对任意x∈R都有f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4,求f(x)的表达式

Question

已知f(x)为二次函数且对任意x∈R都有f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4,求f(x)的表达式

Answer 1

因为 f(x)为二次函数,
所以 设f(x)=ax^2+bx+c
当x=0时,f（0）=c
f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4
f(1)+f(-1)=-4
又因为 f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c
所以 f(1)+f(-1)=2（a+c）=-4
a+c=-2
当x=1时,f（2）+f(0)=2-4=-2
f(2)=4a+2b+c
4a+2b+c+c=-2
2a+b+c=-1
当x=-1时,f(0)-f(-2)=2-4=-2
f(-2)=4a-2b+c
c+4a-2b+c=-2
2a-b+c=-1
有上述三式,可得 b=0,a=1,c=-3
所以 f(x)=x^2-3