如图所示，在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为R2的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．

Question

如图所示，在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为(R)/(2)的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．
(R)/(2)的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．
(R)/(2)RR22

Answer 1

（采用挖填转换法）
①假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大的小圆孔．
则剩下部分的重力为G′=πR²2hρg-2π•（(R)/(2)）²hρg=(1)/(2)πR²hρg
如答图甲（设金属片厚为h，密度为p）．
②由于左边挖去了一个半径为(R)/(2)的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为(R)/(2)的小圆孔，
则它的重力为G₂=π•（(R)/(2)）²hρg=(1)/(4)πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=(R)/(2)，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂•O₂O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(R)/(2)RRR222）²2hρg=(1)/(2)πR²hρg
如答图甲（设金属片厚为h，密度为p）．
②由于左边挖去了一个半径为(R)/(2)的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为(R)/(2)的小圆孔，
则它的重力为G₂=π•（(R)/(2)）²hρg=(1)/(4)πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=(R)/(2)，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂•O₂O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(1)/(2)111222πR²2hρg
如答图甲（设金属片厚为h，密度为p）．
②由于左边挖去了一个半径为(R)/(2)的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为(R)/(2)的小圆孔，
则它的重力为G₂=π•（(R)/(2)）²hρg=(1)/(4)πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=(R)/(2)，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂•O₂O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(R)/(2)RRR222的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为(R)/(2)的小圆孔，
则它的重力为G₂=π•（(R)/(2)）²hρg=(1)/(4)πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=(R)/(2)，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂•O₂O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(R)/(2)RRR222的小圆孔，
则它的重力为G₂2=π•（(R)/(2)）²hρg=(1)/(4)πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=(R)/(2)，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂•O₂O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(R)/(2)RRR222）²2hρg=(1)/(4)πR²hρg，重心在O₂上，且OO₂=(R)/(2)，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂•O₂O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(1)/(4)111444πR²2hρg，重心在O₂2上，且OO₂2=(R)/(2)，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂•O₂O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(R)/(2)RRR222，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G₂2•O₂2O=G•OO′，即(1)/(4)πR²hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(1)/(4)111444πR²2hρg•（(R)/(2)-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(R)/(2)RRR222-OO′）=(1)/(2)πR²hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(1)/(2)111222πR²2hρg•OO′，解得OO′=(R)/(6)．
(R)/(6)RRR666．