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如图1,直角梯形ABCD中,AB=AD,AD∥BC,点P为腰CD上任意一点,AB=PB,BE平分∠PBC交AP的延长线于E点,连DECE.(1)求证:∠AEB=45°(2)求证:BE+DE=根号2倍的AE
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如图1,直角梯形ABCD中,AB=AD,AD∥BC,点P为腰CD上任意一点,AB=PB,BE平分∠PBC交AP的延长线于E点,连DE
CE.(1)求证:∠AEB=45°(2)求证:BE+DE=根号2倍的AE
CE.(1)求证:∠AEB=45°(2)求证:BE+DE=根号2倍的AE
▼优质解答
答案和解析
(1)由AB=PB,则∠BAP=∠APB=β,∴∠ABP=180-2β
∵BE平分∠PBC,∴∠PBE=∠EBC=α
∴180-2β+2α=90º,∴β-α=45º
在△PBE中,∠AEB=∠APB-∠PBE=β-α=45º
(2)由上题,∠AEB=∠ADB=45º
∴A、B、E、D四点共圆
∴∠ABE+∠ADE=180º
延长EB到点F,使得BF=DE,则∠ABE+∠ABF=180º
∴∠ABF=∠ADE,又AB=AD
∴△ABF≌△ADE
∴AE=AF,∠DAE=∠BAF
∴∠FAE=∠BAD=90º
∴EF²=AE²+AF²=2AE²
∴EF=√2AE
∴BE+DE=√2AE
∵BE平分∠PBC,∴∠PBE=∠EBC=α
∴180-2β+2α=90º,∴β-α=45º
在△PBE中,∠AEB=∠APB-∠PBE=β-α=45º
(2)由上题,∠AEB=∠ADB=45º
∴A、B、E、D四点共圆
∴∠ABE+∠ADE=180º
延长EB到点F,使得BF=DE,则∠ABE+∠ABF=180º
∴∠ABF=∠ADE,又AB=AD
∴△ABF≌△ADE
∴AE=AF,∠DAE=∠BAF
∴∠FAE=∠BAD=90º
∴EF²=AE²+AF²=2AE²
∴EF=√2AE
∴BE+DE=√2AE
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