已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（I）求a的值；（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（I）求a的值；
（II）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

（I）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1…（2分）
又a＞0，所以a=1．           …（4分）
（II） 由（I）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1…（6分）
∴h(x)＝f( x )+g( x )＝|x−1|+x2+2x+1＝

(x+(1)/(2))2+(7)/(4)，x＜1

(x+(3)/(2))2−(9)/(4)，x≥1

…（9分）
∴h(x)在[−(1)/(2)，1)和[1，+∞)上都是单调递增函数．，…（11分）
又∵(1+(1)/(2))2+(7)/(4)＝(1+(3)/(2))2−(9)/(4)，
∴h(x)在[−(1)/(2)，+∞)上是单调递增函数．…（13分）
故h(x)的单调递增区间为[−(1)/(2)，+∞)…（14分）