初四数学题在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,把△ABC进行折叠,使点B落在直线AC上距点C为2的B'处,折痕分别交BC,AC,AB于点H,P,Q,则HP/HQ=双解,要有图有过程详细的有加分急

Question

初四数学题
在等腰直角△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,把△ABC进行折叠,使点B落在直线AC上距点C为2的B'处,折痕分别交BC,AC,AB于点H,P,Q,则HP/HQ=
双解,要有图有过程
详细的有加分
急

Answer 1

方法一：设AC中点为M,BM与HQ交于N,过Q作垂线交BC与K,因为QM=QB,HM=HB,因此HQ是BM中垂线
设HB=x,则在三角形MCH中用勾股定理有4+(4-x)^2=x^2
解得x=5/2
在直角三角形MCB中,BM=根号(4+16)=根号20
BN=BM/2
在直角三角形NHB中,HN=根号(BH^2-BN^2)=根号5/2
易证得三角形QHK与HNB形似,则有
HK/QK=HN/BN==1/2
设HK=y
QK=BK=BH-HK=5/2-y,即y/(5/2-y)=1/2,则y=5/6
易证得三角形CPH与HQK相似,则HP/HQ=CH/HK=3/2/(5/6)=9/5
方法二：解析几何法
以C为原点,AC为Y轴,CB为X轴建立直角坐标系,则直线AB方程y=4-x
BM:y=-0.5x+2
PQ与BM垂直,则二者斜率乘积为-1,PQ斜率为2,又过H(3/2,0),则PQ：y=2x-3
联立PQ与AB方程得Q点坐标(7/3,5/3)
由PQ方程可得P点坐标(0,-3)
已知HPQ三点坐标,即可求出HP、HQ,并得HP/HQ=9/5