已知：关于x的方程mx2-（4m+3）x+3m+3=0．（1）求证：无论m取何值方程必有实数根；（2）设m＞0方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2-3x1，求这个函数的解析式

Question

已知：关于x的方程mx²-（4m+3）x+3m+3=0．
（1）求证：无论m取何值方程必有实数根；
（2）设m＞0方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是关于m的函数，且y=x₂-3x₁，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤m+2．

Answer 1

（1）当m=0，原方程变为：-3x+3=0，此方程有根为x=1；
当m≠0，△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，
由（2m+3）²≥0
∴△≥0，即方程有两个实数根
所以无论m取何值方程必有实数根；
（2）∵x=(4m+3±√((2m+3)2))/(2m)=(4m+3±(2m+3))/(2m)，而m＞0，x₁＜x₂，
∴x₂=(3m+3)/(m)，x₁=1，
∴y=x₂-3x₁=(3m+3)/(m)-3=(3)/(m)（m＞0）；
（3）y=(3)/(m)（m＞0）和y=m+2的交点坐标为（1，3），
如图，当m≥1，y≤m+2．