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如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,请你说明AB+AD=BC.
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如图,△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,请你说明AB+AD=BC.
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答案和解析
证明:过D作DE⊥BC于E,
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠DAB=90°,
∴AD=DE,
由勾股定理得:AB2=BD2-AD2,BE2=BD2-DE2,
∴AB=BE,
∵∠A=90°,AC=AB,
∴∠C=∠ABC=
(180°-90°)=45°,
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠EDC=180°-90°-45°=45°=∠C,
∴DE=EC,
∴BC=BE+CE=AB+AD.
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠DAB=90°,
∴AD=DE,
由勾股定理得:AB2=BD2-AD2,BE2=BD2-DE2,
∴AB=BE,
∵∠A=90°,AC=AB,
∴∠C=∠ABC=
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∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠EDC=180°-90°-45°=45°=∠C,
∴DE=EC,
∴BC=BE+CE=AB+AD.
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