设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足BQ=λQA，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM=λMP，求点P的轨迹方程．

Question

设λ＞0，点A的坐标为（1，1），点B在抛物线y=x²上运动，点Q满足

BQ

=λ

QA

，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足

QM

=λ

MP

，求点P的轨迹方程．

Answer 1

由

QM

=λ

MP

知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P（x，y），Q（x，y₀），M（x，x²）则
x²-y₀=λ（y-x²）即y₀=（1+λ）x²-λy①
再设B（x₁，y₁）由

BQ

=λ

QA

得

x1=(1+λ)x-λ

y1=(1+λ)y0-λ

②
将①代入②式得

x1=(1+λ)x-λ

y1=(1+λ)2x2

-λ(1+λ )y-λ③
又点B在抛物线y=x²
将③代入得（1+λ）²x²-λ（1+λ）y-λ=（（1+λ）x-λ）²
整理得2λ（1+λ）x-λ（1+λ）y-λ（1+λ）=0因为λ＞0所以2x-y-1=0
故所求的点P的轨迹方程：y=2x-1