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如图,在直角坐标系中,直线y=-52x+5与x轴交于B点,与y轴交于C点,直线AC经过点D(-2,3)并交x轴于点A.(1)试求直线AC的函数关系式;(2)过点A作BC的垂线交y轴于点E,求证:△AOE≌△COB
题目详情
如图,在直角坐标系中,直线y=-
x+5与x轴交于B点,与y轴交于C点,直线AC经过点D(-2,3)并交x轴于点A.
(1)试求直线AC的函数关系式;
(2)过点A作BC的垂线交y轴于点E,求证:△AOE≌△COB;
(3)在x轴上是否存在一点P,使P点到D、E两点的距离之和最小?若存在,请画出图形并求此时P点坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)试求直线AC的函数关系式;
(2)过点A作BC的垂线交y轴于点E,求证:△AOE≌△COB;
(3)在x轴上是否存在一点P,使P点到D、E两点的距离之和最小?若存在,请画出图形并求此时P点坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=-
x+5与y轴交于C点,
∴C点坐标为(0,5).
设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵C、D两点在直线AC上,
∴
,
解得
.
∴直线AC的函数关系式为y=x+5;
(2)∵直线AC交x轴于点A,
∴A点坐标为(-5,0),
∴OA=OC.
在△AOE与△COB中,
∵∠AOE=∠COB=90°,∠OAE=∠OCB=90°-∠B,OA=OC,
∴△AOE≌△COB;
(3)∵△AOE≌△COB,
∴OE=OB=2,
∴E点坐标为(0,2).
作出E点关于x轴的对称点F,则F(0,-2).
连接DF交x轴于点P,则P点到D、E两点的距离之和最小,此时PD+PE=PD+PF=DF.
设直线DF的解析式为y=mx+n,
把D(-2,3),F(0,-2)代入y=mx+n,得
,
解得
.
∴直线DF的解析式为y=-
x-2.
令y=0,得x=-
.
∴P点坐标为(-
,0).
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∴C点坐标为(0,5).
设直线AC的解析式为y=kx+b.
∵C、D两点在直线AC上,
∴
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解得
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∴直线AC的函数关系式为y=x+5;
(2)∵直线AC交x轴于点A,
∴A点坐标为(-5,0),
∴OA=OC.
在△AOE与△COB中,
∵∠AOE=∠COB=90°,∠OAE=∠OCB=90°-∠B,OA=OC,
∴△AOE≌△COB;
(3)∵△AOE≌△COB,
∴OE=OB=2,
∴E点坐标为(0,2).
作出E点关于x轴的对称点F,则F(0,-2).
连接DF交x轴于点P,则P点到D、E两点的距离之和最小,此时PD+PE=PD+PF=DF.
设直线DF的解析式为y=mx+n,
把D(-2,3),F(0,-2)代入y=mx+n,得
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解得
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∴直线DF的解析式为y=-
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令y=0,得x=-
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∴P点坐标为(-
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