已知抛物线方程为y^2=4x,过焦点F(1,0)作互相垂直的直线L1,L2分别交抛物线于点M,N和点Q,R,求四边形MRNQ面积的最小值

Question

已知抛物线方程为y^2=4x,过焦点F(1,0)作互相垂直的直线L1,L2分别交抛物线于点M,N和点Q,R,求四边形MRNQ面积的最小值

Answer 1

设 R（x1,y1）,Q（x2,y2）, 设 RQ的斜率为k ,
设 M（x3,y3）,Q（X4,y4）, MN的斜率为-1/k
直线RQ的方程为 y=k（x-1）,与y^2=4x 联立得
k^2*x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
x1+x2=2+4/k^2
把k^2换成1/k^2,得x3+x4=2+4*k^2
设k^2=t, 则t>0
四边形MRNQ面积=0.5(2+x1+x2)(2+x3+x4)=8(1+t)(1+1/t)
dS/dt=8(t+1)(t-1)/t^2 =0,
当t=1时,取得最小值为
四边形MRNQ面积=8*2*2=32