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当┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃取的最小值7时,求a的值.
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当┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃取的最小值7时,求a的值.
▼优质解答
答案和解析
用数形结合的方法做,比较直观:
先画出y=┃x-3┃; y=┃x+2┃; y=┃x+a┃的三条折线图,三条折线与X轴有三个交点
:(-2,0)、(-a,0)、（3,0） （注：点(-a,0)不一定在中间,只是为方便叙述这样写）
易证,当x取位于X轴中间的这个交点的值时,┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃取最小值（提示：通过区间的线段的斜率变化（+1,-1）分析）
当-a小于等于-2时（即a大于等于2）,即中间点为（-2,0）,x=-2时,
┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃=5+┃a-2┃取最小值7,则a=4
当-a小于等于3且大于等于-2时（即a小于等于2且大于等于-3）,即中间点为（-a,0）,x=-a时,
┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃=┃-a-3┃+┃-a+2┃取最小值7,a值不存在
当-a大于等于3时（即a小于等于-3）,即中间点为（3,0）,x=3时,
┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃=5+┃a+3┃取最小值7,则a=-5
故a=4,a=-5,满足题意
先画出y=┃x-3┃; y=┃x+2┃; y=┃x+a┃的三条折线图,三条折线与X轴有三个交点
:(-2,0)、(-a,0)、（3,0） （注：点(-a,0)不一定在中间,只是为方便叙述这样写）
易证,当x取位于X轴中间的这个交点的值时,┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃取最小值（提示：通过区间的线段的斜率变化（+1,-1）分析）
当-a小于等于-2时（即a大于等于2）,即中间点为（-2,0）,x=-2时,
┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃=5+┃a-2┃取最小值7,则a=4
当-a小于等于3且大于等于-2时（即a小于等于2且大于等于-3）,即中间点为（-a,0）,x=-a时,
┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃=┃-a-3┃+┃-a+2┃取最小值7,a值不存在
当-a大于等于3时（即a小于等于-3）,即中间点为（3,0）,x=3时,
┃x-3┃+┃x+2┃+┃x+a┃=5+┃a+3┃取最小值7,则a=-5
故a=4,a=-5,满足题意
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