已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证：a*a+b*b+c*c≥1/3.

Question

已知a,b,c ∈ R ,且 a+b+c=1 ,求证： a*a+b*b+c*c ≥1/3 .

Answer 1

证明：a*a+b*b≥[(a+b)(a+b)]/2 同理b*b+c*c a*a+c*c 三式相加可得a*a+b*b+c*c≥[(a+b)平方+（b+c）平方+ (a+c)平方]/4 因为a,b,c ∈ R ,且 a+b+c=1 ,所以a+b=1-c ,b+c=1-a ,a+c=1-b.∴4(a平方+b平方+c平方)≥(1-c)平方+(1-a)平方+(1-b)平方 ∴3(a平方+b平方+c平方)≥1 ∴a平方+b平方+c平方≥1/3 ∴原命题得证.