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已知:如图,在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E.求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
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已知:如图,在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E.求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
▼优质解答
答案和解析
证明:∵点D在∠BAC的平分线上,
∴∠1=∠2.(1分)
又∵DE∥AC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3.(2分)
∴AE=DE.(3分)
又∵BD⊥AD于点D,
∴∠ADB=90°.(4分)
∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°.(5分)
∴∠EBD=∠EDB.(6分)
∴BE=DE.(7分)
∴AE=BE=DE.(8分)
∵过A,B,D三点确定一圆,又∠ADB=90°,
∴AB是A,B,D所在的圆的直径.(9分)
∴点E是A,B,D所在的圆的圆心.(10分)
∴∠1=∠2.(1分)
又∵DE∥AC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3.(2分)
∴AE=DE.(3分)
又∵BD⊥AD于点D,
∴∠ADB=90°.(4分)
∴∠EBD+∠1=∠EDB+∠3=90°.(5分)
∴∠EBD=∠EDB.(6分)
∴BE=DE.(7分)
∴AE=BE=DE.(8分)
∵过A,B,D三点确定一圆,又∠ADB=90°,
∴AB是A,B,D所在的圆的直径.(9分)
∴点E是A,B,D所在的圆的圆心.(10分)
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