如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD=2AB=4，AD＝2，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中点O在线段DE内．（1）求证：CO⊥平面ABED；（2）问∠CEO（记为θ）多大时，三棱锥C-AOE的

Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD=2AB=4，AD＝√(2)，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中点O在线段DE内．

（1）求证：CO⊥平面ABED；
（2）问∠CEO（记为θ）多大时，三棱锥C-AOE的体积最大？最大值为多少？

Answer 1

（1）证明：在直角梯形ABCD中，
CD=2AB，E为CD的中点，
则AB=DE，又AB∥DE，
AD⊥AB，知BE⊥ED．…（1分）
在四棱锥C-ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE=E，
CE，DE⊂平面CDE，则BE⊥平面CDE．…（3分）
因为CO⊂平面CDE，所以BE⊥CO…（4分）
又CO⊥DE，且BE，DE是平面ABDE内两条相交直线，…（6分）
故CO⊥平面ABED．…（7分）
（2）由（1）知CO⊥平面ABED，
知三棱锥C-AOE的体积V=(1)/(3)S△AOE•OC＝(1)/(3)×(1)/(2)×OE×AD×OC…（9分）
由直角梯形ABCD中，CD=2AB=4，AD=√(2)，CE=2，
得三棱锥C-AOE中，
OE=CEcosθ=2cosθ，OC=CEsinθ=2sinθ…（10分）
V=(√(2))/(3)sin2θ≤(√(2))/(3)，…（11分）
当且仅当sin2θ=1，θ∈(0，(π)/(2))，即θ＝(π)/(4)时取等号，…（12分）
（此时OE=√(2)＜DE，O落在线段DE内）．
故当θ＝(π)/(4)时，三棱锥C-AOE的体积最大，最大值为(√(2))/(3)．…（13分）