设函数f（x）=exx，（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Question

设函数f（x）=(ex)/(x)，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Answer 1

（1）∵f（x）=(ex)/(x)
∴f′(x)＝−(1)/(x2)ex+(1)/(x)ex＝(x−1)/(x2)ex
由f'（x）=0，得x=1，
因为当x＜0时，f'（x）＜0；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（-∞，0），（0，1]
（2）由f'（x）+k（1-x）f（x）=(x−1+kx−kx2)/(x2)ex=((x−1)(−kx+1))/(x2)ex＞0，
得：（x-1）（kx-1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜(1)/(k)}；
当k=1时，解集是：φ；
当k＞1时，解集是：{x|(1)/(k)＜x＜1}．