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如图,AB为⊙O内垂直于直径的弦,AB、CD相于点H,△AED与△AHD关于直线AD成轴对称.(1)试说明:AE为⊙O的切线;(2)延长AE与CD交于点P,已知PA=2,PD=1,求⊙O的半径和DE的长.
题目详情
如图,AB为⊙O内垂直于直径的弦,AB、CD相于点H,△AED与△AHD关于直线AD成轴对称.
(1)试说明:AE为⊙O的切线;
(2)延长AE与CD交于点P,已知PA=2,PD=1,求⊙O的半径和DE的长.
(1)试说明:AE为⊙O的切线;
(2)延长AE与CD交于点P,已知PA=2,PD=1,求⊙O的半径和DE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)连接OA.
由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO=∠ADE,
∵AB⊥CD,
∴∠AED=∠AHD=90°.
又∵OA=OD(圆的半径),
∴∠OAD=∠ODA(等边对等角),
∴∠OAD=∠ADE(等量代换),
∴OA∥DE(内错角相等,两直线平行),
∴∠OAP=90°(两直线平行,同位角相等),
又∵点A在圆上,
∴AE为⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为x,在Rt△AOP中,
OA2+AP2=OP2
x2+22=(x+1)2(5分)
解得,x=1.5
∴⊙O的半径为1.5;
∵OA∥DE,
∴△PED∽△PAO
∴
=
,
=
,
解得DE=
.
由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO=∠ADE,
∵AB⊥CD,
∴∠AED=∠AHD=90°.
又∵OA=OD(圆的半径),
∴∠OAD=∠ODA(等边对等角),
∴∠OAD=∠ADE(等量代换),
∴OA∥DE(内错角相等,两直线平行),
∴∠OAP=90°(两直线平行,同位角相等),
又∵点A在圆上,
∴AE为⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为x,在Rt△AOP中,
OA2+AP2=OP2
x2+22=(x+1)2(5分)
解得,x=1.5
∴⊙O的半径为1.5;
∵OA∥DE,
∴△PED∽△PAO
∴
DP |
PO |
DE |
AO |
1 |
2.5 |
DE |
1.5 |
解得DE=
3 |
5 |
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