求教两个关于导数的题目,1.y=x^x,求y'和(0,+∞)的极小值2.y={x^(1/2),x>=0-[(-x)^(1/2)],x

Question

求教两个关于导数的题目,
1.y=x^x,求y'和(0,+∞)的极小值
2.y={ x^(1/2) ,x>=0
-[(-x)^(1/2)],x

Answer 1

第一题为幂指函数,首先将x^x化为e^(xlnx)
所以y` = e^(xlnx) * (xlnx)`
= e^(xlnx) * (lnx + x * 1/x)
= e^(xlnx) * (lnx + 1)
= x^x * (lnx + 1)
令导数等于零,得出 x = 1/e ,因为x^x大于零,lnx + 1单调递增,所以 x = 1/e 为极小值点,所以y的极小值为 （1/e）^（1/e） = e ^ (-1/e)
2.下面第二题
分段函数需要分段求导,间断点单独讨论
所以y`= 1/2 * （x^(-1/2)） x>0
1/2 * （(-x)^(-1/2)）x< 0
由于间断点的左右极限相同,都为0,所以函数在0点连续.
所以下面只需要讨论导数是否大于零即可证明函数单调.
有幂函数的定义,显然导数在x∈R时均大于0 ,所以函数单调递增