已知直线l1的方向向量为a=（1，3），且过点A（-2，3），将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=13）得到直线l2，直线l3：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．（1）求直线l1和直

Question

已知直线l₁的方向向量为

a

=（1，3），且过点A（-2，3），将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=(1)/(3)）得到直线l₂，直线l₃：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．
（1）求直线l₁和直线l₂的方程；
（2）当直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3时，求直线l₃的方程．₁

a

=（1，3），且过点A（-2，3），将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=(1)/(3)）得到直线l₂，直线l₃：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．
（1）求直线l₁和直线l₂的方程；
（2）当直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3时，求直线l₃的方程．

a

aa(1)/(3)）得到直线l₂，直线l₃：kx-y-2k+3=0．（k∈R）．
（1）求直线l₁和直线l₂的方程；
（2）当直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3时，求直线l₃的方程．(1)/(3)1133_23
12
1233

Answer 1

（1）∵直线l₁1的方向向量为

a

=（1，3），且过点A（-2，3），
∴直线l₁：y-3=3（x+2），整理，得3x-y+9=0．（2分）
将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=(1)/(3)）得到直线l₂，
设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，B（1，0），
则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，
∴l₂的方程为：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直线l₃：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l₃过定点A（2，3），（7分）
由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），（9分）
点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．（10分）
由

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问题解析

（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

名师点评

本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

考点点评：

本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

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a

aaa=（1，3），且过点A（-2，3），
∴直线l₁1：y-3=3（x+2），整理，得3x-y+9=0．（2分）
将直线x-2y-1=0绕着它与x轴的交点B按逆时针方向旋转一个锐角α（tanα=(1)/(3)）得到直线l₂，
设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，B（1，0），
则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，
∴l₂的方程为：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直线l₃：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l₃过定点A（2，3），（7分）
由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），（9分）
点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．（10分）
由

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问题解析

（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

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(1)/(3)111333）得到直线l₂2，
设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，B（1，0），
则l₂2的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，
∴l₂的方程为：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直线l₃：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l₃过定点A（2，3），（7分）
由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），（9分）
点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．（10分）
由

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问题解析

（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

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(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)tanα+tanβtanα+tanβtanα+tanβ1−tanαtanβ1−tanαtanβ1−tanαtanβ=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，
∴l₂的方程为：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直线l₃：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l₃过定点A（2，3），（7分）
由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），（9分）
点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．（10分）
由

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问题解析

（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

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((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))(1)/(2)+(1)/(3)(1)/(2)+(1)/(3)(1)/(2)111222+(1)/(3)1113331−(1)/(2)•(1)/(3)1−(1)/(2)•(1)/(3)1−(1)/(2)111222•(1)/(3)111333＝1，
∴l₂2的方程为：y=x-1，整理得x-y-1=0．（5分）
（2）∵直线l₃3：kx-y-2k+3=0，即（x-2）k+（3-y）=0，
∴l₃3过定点A（2，3），（7分）
由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），（9分）
点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．（10分）
由

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（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

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3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝03x−y+9＝03x−y+9＝0x−y−1＝0x−y−1＝0x−y−1＝0，得直线l₁1，l₂2的交点C（-5，-6），（9分）
点A到l₂2的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．（10分）
由

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问题解析

（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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直线的一般式方程；直线的截距式方程．

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(|2−3−1||)/(√(2))|2−3−1|||2−3−1|||2−3−1||√(2)√(2)√(2)

2

22=√(2)．（10分）
由

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（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

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√(2)

2

22．（10分）
由

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（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

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本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

考点点评：

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（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

问题解析

问题解析

（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

（1）由已知条件利用点斜率式方程能求出直线l₁1的方程；设直线x-2y-1=0的倾斜角为β，则l₂2的斜率k=tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)tanα+tanβtanα+tanβtanα+tanβ1−tanαtanβ1−tanαtanβ1−tanαtanβ=((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))＝1，由此能求出l₂的方程．
（2）直线l₃：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．((1)/(2)+(1)/(3))/(1−(1)/(2)•(1)/(3))(1)/(2)+(1)/(3)(1)/(2)+(1)/(3)(1)/(2)111222+(1)/(3)1113331−(1)/(2)•(1)/(3)1−(1)/(2)•(1)/(3)1−(1)/(2)111222•(1)/(3)111333＝1，由此能求出l₂2的方程．
（2）直线l₃3：kx-y-2k+3=0，过定点A（2，3），由

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

，得直线l₁，l₂的交点C（-5，-6），点A到l₂的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝0

x−y−1＝0

3x−y+9＝03x−y+9＝03x−y+9＝0x−y−1＝0x−y−1＝0x−y−1＝0，得直线l₁1，l₂2的交点C（-5，-6），点A到l₂2的距离为d=(|2−3−1||)/(√(2))=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．(|2−3−1||)/(√(2))|2−3−1|||2−3−1|||2−3−1||√(2)√(2)√(2)

2

22=√(2)．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．√(2)

2

22．由

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

，得直线l₃，l₂的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

x−y−1＝0

kx−y−2k+3＝0

x−y−1＝0x−y−1＝0x−y−1＝0kx−y−2k+3＝0kx−y−2k+3＝0kx−y−2k+3＝0，得直线l₃3，l₂2的交点B（(2k−5)/(k−1)，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．(2k−5)/(k−1)2k−52k−52k−5k−1k−1k−1，(k−4)/(k−1)），由直线l₁，l₂，l₃所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．(k−4)/(k−1)k−4k−4k−4k−1k−1k−1），由直线l₁1，l₂2，l₃3所围成的三角形的面积为3，得|BC|=3√(2)，由此能求出l₃的方程．√(2)

2

22，由此能求出l₃3的方程．

名师点评

本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

考点点评：

本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

名师点评

名师点评

本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

本题考点：

本题考点：

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

直线的一般式方程；直线的截距式方程．

考点点评：

本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

考点点评：

本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

考点点评：

考点点评：

本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．

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