用一块长为a，宽为b（a＞b）的矩形木板，在二面角为γ的墙角处，围出一个直三棱柱的谷仓，在下面四种设计中，容积最大的是（）A．B．C．D．

Question

用一块长为a，宽为b（a＞b）的矩形木板，在二面角为γ的墙角处，围出一个直三棱柱的谷仓，在下面四种设计中，容积最大的是（　　）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

①对于A、C，如图，
若使矩形木板长边a贴紧地面，即AB=CD=a，AD=BC=b，
设PA=x，PB=y，则a²2=x²2+y²2-2xycosγ≥2xy-2xycosγ．
∴xy≤(a2)/(2(1-cosγ))（当且仅当x=y时取等号，即α=β）．这时容积V₁=（(1)/(2)xy sinγ）•b≤(a2bsinγ)/(4(1-cosγ))=(1)/(4)a²bcot(γ)/(2)．
②对于B、D，如图
若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤(b2)/(2(1-cosγ))．
这时容积V₂=（(1)/(2)xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (a2)/(2(1-cosγ))a2a2a222(1-cosγ)2(1-cosγ)2(1-cosγ)（当且仅当x=y时取等号，即α=β）．这时容积V₁1=（(1)/(2)xy sinγ）•b≤(a2bsinγ)/(4(1-cosγ))=(1)/(4)a²bcot(γ)/(2)．
②对于B、D，如图
若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤(b2)/(2(1-cosγ))．
这时容积V₂=（(1)/(2)xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (1)/(2)111222xy sinγ）•b≤(a2bsinγ)/(4(1-cosγ))=(1)/(4)a²bcot(γ)/(2)．
②对于B、D，如图
若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤(b2)/(2(1-cosγ))．
这时容积V₂=（(1)/(2)xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (a2bsinγ)/(4(1-cosγ))a2bsinγa2bsinγa2bsinγ2bsinγ4(1-cosγ)4(1-cosγ)4(1-cosγ)=(1)/(4)a²bcot(γ)/(2)．
②对于B、D，如图
若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤(b2)/(2(1-cosγ))．
这时容积V₂=（(1)/(2)xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (1)/(4)111444a²2bcot(γ)/(2)．
②对于B、D，如图
若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤(b2)/(2(1-cosγ))．
这时容积V₂=（(1)/(2)xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (γ)/(2)γγγ222．
②对于B、D，如图
若使矩形木板短边贴紧地面，则同理可得xy ≤(b2)/(2(1-cosγ))．
这时容积V₂=（(1)/(2)xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (b2)/(2(1-cosγ))b2b2b222(1-cosγ)2(1-cosγ)2(1-cosγ)．
这时容积V₂2=（(1)/(2)xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (1)/(2)111222xy sinγ）•a≤(1)/(4)ab²cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (1)/(4)111444ab²2cot(γ)/(2)．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (γ)/(2)γγγ222．
∵a＞b＞0，cot(γ)/(2)＞0 
∴V₁＞V₂．
故选：A． (γ)/(2)γγγ222＞0 
∴V₁1＞V₂2．
故选：A．