如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上（设空间向量）（1）求证：平面AEC⊥平面PDB（法向量 方法）(2) 当PD=√（根号）2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小（设

Question

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上（设空间向量）
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB（法向量 方法）
(2) 当PD=√（根号）2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小（设向量）

Answer 1

四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,且E在棱PB上（设空间向量）
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB（法向量 方法）
(2) 当PD=√（根号）2AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小（设向量）
(1)解析：∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD
建立以D为原心,以DC方向为X轴,以DA方向为Y轴,以DP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系D-xyz
设AB=1
则点坐标：
D(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0)
P(0,0,z1),E(x,y,z)
向量PD=(0,0,-z1),向量PB=(1,1,-z1)
设向量m为面PDB的一个法向量：
向量m=向量PD×向量PB=(z1,-z1,0)
向量EA=(-x,1-y,-z),向量EC=(1-x,-y,-z)
设向量n为面EAC的一个法向量：
向量n=向量EA×向量EC=(-z,-z,x-y-1)
向量m*向量n=-zz1+zz1+0=0
∴向量m⊥向量n,∴平面AEC⊥平面PDB
(2)解析：∵PD=√2,E为PB的中点
则点坐标：
D(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0)
P(0,0,√2),E(1/2,1/2,√2/2)
向量EA=(-1/2,1/2,-√2/2)==>|向量EA|=1
向量m=(√2,-√2,0)==>|向量m|=2
向量EA*向量m=-√2
Cos=(向量EA*向量m)/(|向量EA|*|向量m|)=-√2/2
∴AE与平面PDB所成的角为45°