（2012•福建）如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直

Question

（2012•福建）如图，等边三角形OAB的边长为8√(3)，且其三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

Answer 1

（1）依题意，|OB|=8√(3)，∠BOy=30°，
设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4√(3)，y=|OB|cos30°=12
∵B（4√(3)，12）在x²=2py（p＞0）上，∴(4√(3))2＝2p×12
∴p=2，
∴抛物线E的方程为x²=4y；
（2）由（1）知，y＝(1)/(4)x2，y′＝(1)/(2)x
设P（x₀，y₀），则x₀≠0．l：y−y0＝(1)/(2)x0(x−x0)即y＝(1)/(2)x0x−(1)/(4)x02
由

y＝(1)/(2)x0x−(1)/(4)x02

y＝−1

得

x＝(x02−4)/(2x0)

y＝−1

，∴Q((x02−4)/(2x0)，−1)
取x₀=2，此时P（2，1），Q（0，-1），以PQ为直径的圆为（x-1）²+y²=2，交y轴于点M₁（0，1）或M₂（0，-1）
取x₀=1，此时P（1，(1)/(4)），Q（-(3)/(2)，-1），以PQ为直径的圆为（x+(1)/(4)）²+（y+(3)/(8)）²=2，交y轴于点M₃（0，1）或M₄（0，-(7)/(4)）
故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下
∵

MP

＝(x0，y0−1)，

MQ

＝((x02−4)/(2x0)，−2)
∴

MP

•

MQ

=2y₀-2-2y₀+2=0
故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．