已知函数f(x)=2x+3/3x,数列｛an｝满足a₁=1,an+1=f（1/an）,n∈N+⑴求数列｛an｝的通项公式.⑵令Tn=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a5+...-a2na2n+1求Tn⑶令bn=1/an-1.an（n≥2）b₁=3.Sn=b

Question

已知函数f(x)=2x+3/3x,数列｛an｝满足a₁=1,an+1=f（1/an）,n∈N+
⑴求数列｛an｝的通项公式.
⑵令Tn=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a5+...-a2na2n+1求Tn
⑶令bn=1/an-1.an（n≥2）b₁=3.Sn=b₁＋b₂＋.＋bn若Sn

Answer 1

（1）an+1=(2/an+3)/(3/an)=(2+3an)/3=an+2/3
故{an}是等差数列an=(2n+1)/3
（2）由（1）知anan+1=(2n+1)/3*(2n+3)/3=(4n^2+8n+3)/9
an-1an=(2n+1)/3*(2n-1)/3
故an-1an-anan+1=.=(2n+1)*4/9 （n>=2)
Tn中两两合并成一项,得数列{an-1an-anan+1}是等差数列
Tn=4/9*5+4/9*7+4/9*9+.4/9*(2n+1)=4n(n+3)/9
（3）由（2）知an-1an=(2n+1)/3*(2n-1)/3
bn=9/(2n+1)(2n-1)=9/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)] （裂项法）
sn=9/2*[1/5-1/(2n+1)]=2)
即9/5-9/(2n+1)[phone]+4/5-9/(2n+1)