在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长．（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．

（1）如图1，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长．
（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
（4）如图4，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请写出正方形的边长．

Answer 1

（1）在图1中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，CN=(12)/(5)，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴(CM)/(CN)=(GF)/(AB)，
设正方形边长为x，则 ((12)/(5)−x)/((12)/(5))=(x)/(5)，∴x=(60)/(37)；
（2）在图2中作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴(CM)/(CN)=(GF)/(AB)，
设每个正方形边长为x，则 ((12)/(5)−x)/((12)/(5))=(2x)/(5)，∴x=(60)/(49)；
（3）在图3中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴(CM)/(CN)=(GF)/(AB)，
设每个正方形的边长为x，则((12)/(5)−x)/((12)/(5))=(3x)/(5)，∴x=(60)/(61)；
（4）设每个正方形的边长为x，同理得到：((12)/(5)−x)/((12)/(5))=(nx)/(5)，则x=(60)/(12n+25)．