已知函数f（x）=xp+qx+r，f（1）=6，f′（1）=5，f′（0）=3，an＝1f(n)，n∈N+，则数列{an}的前n项和是．

Question

已知函数f（x）=x^p+qx+r，f（1）=6，f′（1）=5，f′（0）=3，an＝(1)/(f(n))，n∈N+，则数列{a_n}的前n项和是______．

Answer 1

∵f（x）=x^p+qx+r，
∴f'（x）=p•x^p-1+q，
∵f′（1）=5=p+q，f'（0）=3=q f（1）=6=1+q+r
解得p=2，q=3，r=2，
于是f（x）=x²+3x+2，
∵an＝(1)/(f(n))，n∈N+，
∴an＝(1)/(n2+3n+2)=(1)/(n+1)−(1)/(n+2)，
∴数列{a_n}的前n项和：
Sn＝(1)/(2)−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(4) +…+(1)/(n+1)−(1)/(n+2)
=(1)/(2)-(1)/(n+2)
=(n)/(2(n+2))=(n)/(2n+4)．
故答案为：(n)/(2n+4)．