在狭义相对论中(ict)^2+x^2+y^2+z^2是个守恒量,那在广义相对论中这个量还守恒吗?如果不守恒,能求出它的函数形式吗?

Question

在狭义相对论中(ict)^2+x^2+y^2+z^2是个守恒量,那在广义相对论中这个量还守恒吗?
如果不守恒,能求出它的函数形式吗?

Answer 1

广义相对论中守恒量是ds^2=g(ij)dx(i)dx(j)（默认相同指标求和i,j=0,1,2,3,x(0)=ct)
狭义相对论中度规张量g(ij)=diag{-1,1,1,1}（即g(00)=-1,g(11)=g(22)=g(33)=1,其余为0）时的特殊情况
另度规张量一般是坐标的函数(弯曲时空）,因此一般而言只能写成微分线元的形式（即ds,dx),狭义相对论的平直时空度规与坐标无关,才能写成s^2=-(ct)^2+x^2+y^2+z^2 .
.单纯x^2+y^2+z^2-(ct)^2这个量在广义相对论中无任何意义.