定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝(12)|x−m|（1）求m的值；（2）设g（x）=log2x，证明：方程f（x）=g（x）只有一个实数解．

Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)＝f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝((1)/(2))|x−m|
（1）求m的值；
（2）设g（x）=log₂x，证明：方程f（x）=g（x）只有一个实数解．

Answer 1

（1）由x∈[0，2]时，f（x+2）=f（x）有f（2）=f（0）
得|2-m|=|m|
∴m=1
（2）证明：由（1）得f（x）=((1)/(2))|x−1|
当x∈[0，2]时，f（x）∈[(1)/(2)，1]
又f（x）是周期为2的周期函数，故f（x）的值域为[(1)/(2)，1]
当x＞2时，g（x）＞1＞f（x），故此时方程无解；
当x=2时，f（x）≠g（x），方程无解
当1＜x＜2时，记F（x）=f（x）-g（x）=((1)/(2))x−1−log2x，
F（1）•F（2）=-(1)/(2)＜0，且F（x）单调递减，所以函数F（x）在x∈（1，2）内有唯一零点
即方程f（x）=g（x）在x∈（1，2）上有唯一解；
当0＜x≤1时，g（x）≤0＜f（x），此时方程无解．
综上可知，方程f（x）=g（x）只有一个实数解．