设AB是圆O的动切线,与过圆心而互相垂直的两直线相交于A,B,圆O的半径r,则OA+OB的最小值.写出过程

Question

设AB是圆O的动切线,与过圆心而互相垂直的两直线相交于A,B,圆O的半径r,则OA+OB的最小值.写出过程

Answer 1

记切点为C,连接OC,则OC⊥AB
设∠AOC=a,∵AO⊥BO,∴∠B=∠AOC=a
则OA=r/cosa,OB=r/sina
∴OA+OB=r(1/cosa+1/sina)
由均值不等式得1/cosa+1/sina≥2√(1/cosa*sina)
而sina*cosa≤(sin²a+cos²a)/2=1/2
所以OA+OB≥(2√2)r,当a=45°时,可取等号
即OA+OB最小值为(2√2)r