已知向量a=(sinθ,cosθ)(θ∈R),b=(√3,3)当θ为何值时,向量a、b不能作为平面向量的一组基底求〡a-b〡的取值范围

Question

已知向量a=(sinθ,cosθ)(θ∈R),b=(√3,3)
当θ为何值时,向量a、b不能作为平面向量的一组基底
求〡a-b〡的取值范围

Answer 1

1、向量a与向量b平行时,两向量不可作为平面向量的基底.
若a∥b,根据向量平行充要条件,则3sinθ=√3cosθ,显然cosθ=0时,等式不成立,则tanθ=√3/3,所以θ=kπ+π/6,k∈Z
综上θ=kπ+π/6,k∈Z时,向量a、b不能作为平面向量的一组基底
2、a-b=(sinθ-√3,cosθ-3)
则〡a-b〡^2=(sinθ-√3)^2+(cosθ-3)^2
=sinθ^2-2√3sinθ+3+cosθ^2-6cosθ+9
=13-2√3(sinθ+√3cosθ)
=13-4√3sin(θ+π/3))∈[13-4√3,13+4√3]=[(2√3-1)^2,(2√3+1)^2]
所以〡a-b〡∈[2√3-1,2√3+1]