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图中是一副三角板,45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处,∠A=30°,∠E=45°,∠EDF=∠ACB=90°,DE交AC于点G,GM⊥AB于M.(1)如图①,当DF经过点C时,作CN⊥AB
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图中是一副三角板,45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处,∠A=30°,∠E=45°,∠EDF=∠ACB=90°,DE交AC于点G,GM⊥AB于M.
(1)如图①,当DF经过点C时,作CN⊥AB于N,求证:AM=DN;
(2)如图②,当DF∥AC时,DF交BC于H,作HN⊥AB于N,(1)的结论仍然成立,请你说明理由.
(1)如图①,当DF经过点C时,作CN⊥AB于N,求证:AM=DN;
(2)如图②,当DF∥AC时,DF交BC于H,作HN⊥AB于N,(1)的结论仍然成立,请你说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵∠ACB=90°,D是AB的中点.
∴CD=AD=BD,
又∵∠B=90°-∠A=60°,
∴△BCD是等边三角形.
又∵CN⊥DB,
∴DN=
DB.
∵∠EDF=90°,△BCD是等边三角形,
∴∠ADG=30°,而∠A=30°.
∴GA=GD.
∵GM⊥AB,
∴AM=
AD.
又∵AD=DB,
∴AM=DN.
(2)(1)的结论依然成立.理由如下:
∵DF∥AC,
∴∠1=∠A=30°,∠AGD=∠GDH=90°,
∴∠ADG=60°.
∵∠B=60°,AD=DB,
∴△ADG≌△DBH,
∴AG=DH.
又∵GM⊥AB,HN⊥AB,
∴∠GMA=∠HND=90°,
∵∠1=∠A,
∴Rt△AMG≌Rt△DNH,
∴AM=DN.
∴CD=AD=BD,
又∵∠B=90°-∠A=60°,
∴△BCD是等边三角形.
又∵CN⊥DB,
∴DN=
1 |
2 |
∵∠EDF=90°,△BCD是等边三角形,
∴∠ADG=30°,而∠A=30°.
∴GA=GD.
∵GM⊥AB,
∴AM=
1 |
2 |
又∵AD=DB,
∴AM=DN.
(2)(1)的结论依然成立.理由如下:
∵DF∥AC,
∴∠1=∠A=30°,∠AGD=∠GDH=90°,
∴∠ADG=60°.
∵∠B=60°,AD=DB,
∴△ADG≌△DBH,
∴AG=DH.
又∵GM⊥AB,HN⊥AB,
∴∠GMA=∠HND=90°,
∵∠1=∠A,
∴Rt△AMG≌Rt△DNH,
∴AM=DN.
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