如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；方案

Question

如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：

方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C；
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C．
（1）求方案一中三角形DEF面积S₁的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面积S₂的最大值．

Answer 1

（1）在方案一：在三角形AFC中，设∠ACF=α，α∈（0，(π)/(2)），
则AF＝2√(3)sinα，FC＝2√(3)cosα，…（2分）
因为DE∥AC，所以∠E=α，EC＝(2)/(sinα)，
且(FA)/(AD)＝(FC)/(CE)，即(2√(3)sinα)/(AD)＝(2√(3)cosα)/((2)/(sinα))，…（4分）
解得AD＝(2)/(cosα)，…（6分）
所以S1＝(1)/(2)(2√(3)sinα+(2)/(cosα))(2√(3)cosα+(2)/(sinα))＝3(sin2α+(4)/(3sin2α))+4√(3)，
所以当sin2α=1，即α=45°时，S₁有最小值7+4√(3)． …（8分）
（2）在方案二：在三角形DBA中，设∠DBA=β，β∈（0，(2π)/(3)），则(DB)/(sin(120°−β))＝(AB)/(sin60°)，
解得DB＝(8)/(√(3))sin(120°−β)，…（10分）
三角形CBE中，有(EB)/(sinβ)＝(CB)/(sin60°)，解得EB＝(4)/(√(3))sinβ，…（12分）
则等边三角形的边长为(8)/(√(3))sin(120°−β)+(4)/(√(3))sinβ＝(4)/(√(3))(2sinβ+√(3)cosβ)，…（14分）
所以边长的最大值为(4√(7))/(√(3))，所以面积S₂的最大值为(√(3))/(4)×((4√(7))/(√(3)))2＝(28√(3))/(3)．…（16分）