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已知,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合),线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接QB交射线AC于点M.(1)如图①,当AC=BC,点P在线段CB上时,线
题目详情
已知,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,点P是射线CB上一点(点P不与点B、C重合),线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ,连接QB交射线AC于点M.
(1)如图①,当AC=BC,点P在线段CB上时,线段PB、CM的数量关系是___;
(2)如图②,当AC=BC,点P在线段CB的延长线时,(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图③,若
=
,点P在线段CB的延长线上,CM=2,AP=13,求△ABP的面积.
(1)如图①,当AC=BC,点P在线段CB上时,线段PB、CM的数量关系是___;
(2)如图②,当AC=BC,点P在线段CB的延长线时,(1)中的结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请说明理由.
(3)如图③,若
AC |
BC |
5 |
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,
将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',
∴B'Q=BP,AB'=AB,
连接BB',
∵AC⊥BC,
∴点C在BB'上,且CB'=CB,
依题意得,∠C'B'B=90°,
∴CM∥B'C',而CB'=CB,
∴2CM=B'Q,
∵BP=B'Q,
∴BP=2CM,
故答案为:BP=2CM;
(2)BP=2CM仍然成立,
理由:如图2,
将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',连接B'Q,
∴B'Q=BP,AB'=AB,
连接BB',
∵AC⊥BC,
∴点C在BB'上,且CB'=CB,
依题意得,∠C'B'B=90°,
∴CM∥B'C',而CB'=CB,
∴2CM=B'Q,
∵BP=B'Q,
∴BP=2CM,
(3)如图3,
设BC=2x,则AC=5x,
将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',连接B'Q,
∴BC=B'C',B'Q=BP,AC=AC'
延长BC交C'Q于N,
∴四边形ACNC'是正方形,
∴C'N=CN=AC=5x,
∴BN=CN+BC=7x
∵CM∥QN,
∴
=
∵CM=2,
∴
=
∴QN=7,
∴BP=B'Q=C'N+QN-B'C'=5x+7-2x=3x+7,
∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7,
在Rt△ACP中,AC=5x,PC=5x+7,AP=13,
根据勾股定理得,(5x)2+(5x+7)2=132
∴x=1或x=-
(舍),
∴BP=3x+7=10,AC=5x=5,
∴S△ABP=
BP×AC=
×10×5=25,
将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',
∴B'Q=BP,AB'=AB,
连接BB',
∵AC⊥BC,
∴点C在BB'上,且CB'=CB,
依题意得,∠C'B'B=90°,
∴CM∥B'C',而CB'=CB,
∴2CM=B'Q,
∵BP=B'Q,
∴BP=2CM,
故答案为:BP=2CM;
(2)BP=2CM仍然成立,
理由:如图2,
将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',连接B'Q,
∴B'Q=BP,AB'=AB,
连接BB',
∵AC⊥BC,
∴点C在BB'上,且CB'=CB,
依题意得,∠C'B'B=90°,
∴CM∥B'C',而CB'=CB,
∴2CM=B'Q,
∵BP=B'Q,
∴BP=2CM,
(3)如图3,
设BC=2x,则AC=5x,
将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△AB'C',连接B'Q,
∴BC=B'C',B'Q=BP,AC=AC'
延长BC交C'Q于N,
∴四边形ACNC'是正方形,
∴C'N=CN=AC=5x,
∴BN=CN+BC=7x
∵CM∥QN,
∴
CM |
QN |
BC |
BN |
∵CM=2,
∴
2 |
QN |
2x |
7x |
∴QN=7,
∴BP=B'Q=C'N+QN-B'C'=5x+7-2x=3x+7,
∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7,
在Rt△ACP中,AC=5x,PC=5x+7,AP=13,
根据勾股定理得,(5x)2+(5x+7)2=132
∴x=1或x=-
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∴BP=3x+7=10,AC=5x=5,
∴S△ABP=
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