如图，二次函数y=kx2-3kx-4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．（1）求点A坐标和抛物线的解析式；（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为

Question

如图，二次函数y=kx²-3kx-4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．
（1）求点A坐标和抛物线的解析式；
（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

（1）当y=0时，kx²-3kx-4k=0
∵k≠0，∴x²-3x-4=0，
解得：x₁=-1，x₂=4
∴B（-1，0），A（4，0），
∵OA=OC，
∴C（0，4）；
把x=0，y=4代入y=kx²-3kx-4k，
得k=-1，
则抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4；

（2）①当∠PCA=90°时，过点P作PM⊥y轴于M，如图1，

∴∠MCP+∠ACO=90°．
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCP=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP=∠OAC=45°，
∴∠MCP=∠MPC=45°，
∴MC=MP．
设P（m，-m²+3m+4），
则PM=CM=m，OM=-m²+3m+4，
∴m+4=-m²+3m+4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2，
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）；
②当∠PAC=90°时，过点P作PN⊥y轴于N，设AP与y轴交于点F，如图2，

则有PN∥x轴，
∴∠FPN=∠OAP．
∵∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，
∴∠FPN=45°，AO=OF=4，
∴PN=NF，
设P（n，-n²+3n+4），
则PN=-n，ON=n²-3n-4，
∴-n+4=n²-3n-4，
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
即P（-2，-6）．
综上所述：点P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）当点Q的坐标是（(3+√(17))/(2)，2）或（(3-√(17))/(2)，2）时，EF最短．
提示：如图3，

∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴EF=OD．
∴当线段EF的长度最短时，OD最小，
此时OD⊥AC．
∵OA=OC，
∴∠COD=∠AOD=45°，CD=AD．
∵DF∥OC，∴△ADF∽△ACO，
∴(DF)/(OC)=(AD)/(AC)=(1)/(2)，
∴DF=(1)/(2)OC=2，
∴y_Q=2，
解-x²+3x+4=2，得
x₁=(3+√(17))/(2)，x₂=(3-√(17))/(2)，
∴点Q的坐标是（(3+√(17))/(2)，2）或（(3-√(17))/(2)，2）．