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如图,二次函数y=kx2-3kx-4k(k≠0),的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,OC=OA.(1)求点A坐标和抛物线的解析式;(2)是否存在抛物线上的点P,使得△ACP是以AC为
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如图,二次函数y=kx2-3kx-4k(k≠0),的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,OC=OA.
(1)求点A坐标和抛物线的解析式;
(2)是否存在抛物线上的点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线,交y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,直接写出点Q的坐标.
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(1)求点A坐标和抛物线的解析式;
(2)是否存在抛物线上的点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线,交y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,直接写出点Q的坐标.
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▼优质解答
答案和解析
(1)当y=0时,kx2-3kx-4k=0
∵k≠0,∴x2-3x-4=0,
解得:x1=-1,x2=4
∴B(-1,0),A(4,0),
∵OA=OC,
∴C(0,4);
把x=0,y=4代入y=kx2-3kx-4k,
得k=-1,
则抛物线的解析式为:y=-x2+3x+4;
(2)①当∠PCA=90°时,过点P作PM⊥y轴于M,如图1,
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∴∠MCP+∠ACO=90°.
∵∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠MCP=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP=∠OAC=45°,
∴∠MCP=∠MPC=45°,
∴MC=MP.
设P(m,-m2+3m+4),
则PM=CM=m,OM=-m2+3m+4,
∴m+4=-m2+3m+4,
解得:m1=0(舍去),m2=2,
∴-m2+3m+4=6,
即P(2,6);
②当∠PAC=90°时,过点P作PN⊥y轴于N,设AP与y轴交于点F,如图2,
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则有PN∥x轴,
∴∠FPN=∠OAP.
∵∠CAO=45°,∴∠OAP=45°,
∴∠FPN=45°,AO=OF=4,
∴PN=NF,
设P(n,-n2+3n+4),
则PN=-n,ON=n2-3n-4,
∴-n+4=n2-3n-4,
解得:n1=-2,n2=4(舍去),
∴-n2+3n+4=-6,
即P(-2,-6).
综上所述:点P的坐标是(2,6)或(-2,-6);
(3)当点Q的坐标是(
,2)或(
,2)时,EF最短.
提示:如图3,
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∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°,
∴四边形OEDF是矩形,
∴EF=OD.
∴当线段EF的长度最短时,OD最小,
此时OD⊥AC.
∵OA=OC,
∴∠COD=∠AOD=45°,CD=AD.
∵DF∥OC,∴△ADF∽△ACO,
∴
=
=
,
∴DF=
OC=2,
∴yQ=2,
解-x2+3x+4=2,得
x1=
,x2=
,
∴点Q的坐标是(
,2)或(
,2).
∵k≠0,∴x2-3x-4=0,
解得:x1=-1,x2=4
∴B(-1,0),A(4,0),
∵OA=OC,
∴C(0,4);
把x=0,y=4代入y=kx2-3kx-4k,
得k=-1,
则抛物线的解析式为:y=-x2+3x+4;
(2)①当∠PCA=90°时,过点P作PM⊥y轴于M,如图1,
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∴∠MCP+∠ACO=90°.
∵∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠MCP=∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠MCP=∠OAC=45°,
∴∠MCP=∠MPC=45°,
∴MC=MP.
设P(m,-m2+3m+4),
则PM=CM=m,OM=-m2+3m+4,
∴m+4=-m2+3m+4,
解得:m1=0(舍去),m2=2,
∴-m2+3m+4=6,
即P(2,6);
②当∠PAC=90°时,过点P作PN⊥y轴于N,设AP与y轴交于点F,如图2,
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则有PN∥x轴,
∴∠FPN=∠OAP.
∵∠CAO=45°,∴∠OAP=45°,
∴∠FPN=45°,AO=OF=4,
∴PN=NF,
设P(n,-n2+3n+4),
则PN=-n,ON=n2-3n-4,
∴-n+4=n2-3n-4,
解得:n1=-2,n2=4(舍去),
∴-n2+3n+4=-6,
即P(-2,-6).
综上所述:点P的坐标是(2,6)或(-2,-6);
(3)当点Q的坐标是(
3+
| ||
2 |
3-
| ||
2 |
提示:如图3,
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∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°,
∴四边形OEDF是矩形,
∴EF=OD.
∴当线段EF的长度最短时,OD最小,
此时OD⊥AC.
∵OA=OC,
∴∠COD=∠AOD=45°,CD=AD.
∵DF∥OC,∴△ADF∽△ACO,
∴
DF |
OC |
AD |
AC |
1 |
2 |
∴DF=
1 |
2 |
∴yQ=2,
解-x2+3x+4=2,得
x1=
3+
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2 |
3-
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2 |
∴点Q的坐标是(
3+
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2 |
3-
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2 |
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