已知线段AB=10，点P在线段AB上，且AP=6，以A为圆心AP为半径作⊙A，点C在⊙A上，以B为圆心BC为半径作⊙B，射线BC与⊙A交于点Q（不与点C重合）．（1）当⊙B过点A时（如图1），求CQ的长；（2）当

Question

已知线段AB=10，点P在线段AB上，且AP=6，以A为圆心AP为半径作⊙A，点C在⊙A上，以B为圆心BC为半径作⊙B，射线BC与⊙A交于点Q（不与点C重合）．
（1）当⊙B过点A时（如图1），求CQ的长；
（2）当点Q在线段BC上时（如图2），设BC=x，CQ=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当由A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形时，求BC的长．

Answer 1

（1）∵C、Q在⊙A上，
∴AC=AQ，∴∠C=∠AQC，
∵⊙B过A、C，
∴BA=BC，∴∠C=∠CAB，
∴∠AQC=∠CAB，
∵∠C=∠C，
∴△CAQ∽△CBA，（1分）
∴AC²=CQ•CB，（1分）
即6²=10•CQ，
∴CQ=3.6．（2分）

（2）作AH⊥CQ，则QH=CH=(y)/(2)，（1分）
且AQ²-QH²=AB²-BH²；（1分）
∵BH=x−(y)/(2)，且AQ=6，∴36−(y2)/(4)＝100−(x−(y)/(2))2
解之得：y＝(x2−64)/(x)；（8＜x≤16）

（3）当Q在BC上时：如图1
A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形，
且AC∥PQ，则(BA)/(AP)＝(BC)/(CQ)
∵CQ=y＝(x2−64)/(x)，CB=x，AP=6，
∴(10)/(6)＝(x)/((x2−64)/(x))，
∵x＞0，
∴解得：x＝4√(10)；（2分）

当Q在BC延长线上时：如图2
A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形，
且AQ∥PC，则(BP)/(AP)=(BC)/(CQ)，
作AH⊥CQ，则QH=CH，且AQ²-QH²=AB²-BH²
即36-QH²=100-（x-QH）²，得QH＝(64−x2)/(2x)，
则CQ＝(64−x2)/(x)，（1分）
则(4)/(6)＝(x)/((64−x2)/(x))，
∵x＞0，
∴解得：x＝(8)/(5)√(10)，（2分）
∴当A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形时，BC的长为4√(10)或(8)/(5)√(10)．