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正方形ABCD中,P为AB边上任一点,AE⊥DP于E,点F在DP的延长线上,且DE=EF,连接AF、BF,∠BAF的平分线交DF于G,连接GC.(1)求证:△AEG是等腰直角三角形;(2)求证:AG+CG=;(3)若AB=2,P为AB
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正方形ABCD中,P为AB边上任一点,AE⊥DP于E,点F在DP的延长线上,且DE=EF,连接AF、BF,∠BAF的平分线交DF于G,连接GC.
(1)求证:△AEG是等腰直角三角形;
(2)求证:AG+CG=;
(3)若AB=2,P为AB的中点,求BF的长.
(1)求证:△AEG是等腰直角三角形;
(2)求证:AG+CG=;
(3)若AB=2,P为AB的中点,求BF的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)由条件可以得出∠F=∠PAE,再由直角三角形的性质两锐角互余及角平分线的性质就可以得出2∠GAP+2∠PAE=90°,从而求出结论;
(2)如图2,作CH⊥DP,交DP于H点,可以得出△ADE≌△DCH根据全等三角形的性质就可以得出△GHC是等腰直角三角形,由其性质就可以得出CG=GH,AG=EG,再根据线段转化就看以得出结论;
(3)如图3,延长DF,CB交于点K,根据正方形的性质可以得出△ADP≌△BKP,再由勾股定理就可以得出F是KG的中点,由三角形的中位线的性质就可以求出结论.
(1)证明:如图1,∵DE=EF,AE⊥DP,
∴AF=AD,
∴∠F=∠ADF,
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°,
∴∠F=∠PAE,
∵DF平分∠BAF,
∴∠FAG=∠GAP.
∵∠F+∠FAE=90°,
∴∠F+∠PAE+∠FAP=90°
∴2∠GAP+2∠PAE=90°,
即∠GAE=45°,
∴△AGE为等腰直角三角形;
(2)证明:如图2,作CH⊥DP,交DP于H点,
∴∠DHC=90°.
∵AE⊥DP,
∴∠AED=90°,
∴∠AED=∠DHC.
∵∠ADE+∠CDH=90°,∠CDH+∠DCH=90°,
∴∠ADE=∠DCH.
∵在△ADE和△DCH中,
,
∴△ADE≌△DCH(AAS),
∴CH=DE,DH=AE=EG.
∴EH+EG=EH+HD,
即GH=ED,
∴GH=CH.
∴CG=GH.
∵AG=EG,
∴AG=DH,
∴CG+AG=GH+HD,
∴CG+AG=(GH+HD),
即CG+AG=DG;
(3)如图3,延长DF,CB交于点K,
∵P是AB的中点,
∴AP=BP=1.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=BC=CD,∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°.
∵在△ADP和△BKP中
,
∴△ADP≌△BKP(AAS),
∴AD=KB=BC=2.
在Rt△ADP中由勾股定理,得
PD=,
∴AE=PA•AD,
∴AE=,DE=,
∴EG=,DF=,
∴FG=.
在Rt△KCD中,由勾股定理,得
KD=2,
∴KF=,
∴KF=FG,
∵KB=BC,
∴FB∥CG,BF=CG,
∴BF=•CH=AD=.
(2)如图2,作CH⊥DP,交DP于H点,可以得出△ADE≌△DCH根据全等三角形的性质就可以得出△GHC是等腰直角三角形,由其性质就可以得出CG=GH,AG=EG,再根据线段转化就看以得出结论;
(3)如图3,延长DF,CB交于点K,根据正方形的性质可以得出△ADP≌△BKP,再由勾股定理就可以得出F是KG的中点,由三角形的中位线的性质就可以求出结论.
(1)证明:如图1,∵DE=EF,AE⊥DP,
∴AF=AD,
∴∠F=∠ADF,
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°,
∴∠F=∠PAE,
∵DF平分∠BAF,
∴∠FAG=∠GAP.
∵∠F+∠FAE=90°,
∴∠F+∠PAE+∠FAP=90°
∴2∠GAP+2∠PAE=90°,
即∠GAE=45°,
∴△AGE为等腰直角三角形;
(2)证明:如图2,作CH⊥DP,交DP于H点,
∴∠DHC=90°.
∵AE⊥DP,
∴∠AED=90°,
∴∠AED=∠DHC.
∵∠ADE+∠CDH=90°,∠CDH+∠DCH=90°,
∴∠ADE=∠DCH.
∵在△ADE和△DCH中,
,
∴△ADE≌△DCH(AAS),
∴CH=DE,DH=AE=EG.
∴EH+EG=EH+HD,
即GH=ED,
∴GH=CH.
∴CG=GH.
∵AG=EG,
∴AG=DH,
∴CG+AG=GH+HD,
∴CG+AG=(GH+HD),
即CG+AG=DG;
(3)如图3,延长DF,CB交于点K,
∵P是AB的中点,
∴AP=BP=1.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=BC=CD,∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°.
∵在△ADP和△BKP中
,
∴△ADP≌△BKP(AAS),
∴AD=KB=BC=2.
在Rt△ADP中由勾股定理,得
PD=,
∴AE=PA•AD,
∴AE=,DE=,
∴EG=,DF=,
∴FG=.
在Rt△KCD中,由勾股定理,得
KD=2,
∴KF=,
∴KF=FG,
∵KB=BC,
∴FB∥CG,BF=CG,
∴BF=•CH=AD=.
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