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(2009•嘉定区一模)(1)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=∠ABC.①若点P在线段CB上(如图),且BP=6,求线段CQ的长;②若BP=x,CQ=y,

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(2009•嘉定区一模)(1)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=∠ABC.
①若点P在线段CB上(如图),且BP=6,求线段CQ的长;

②若BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)正方形ABCD的边长为5(如图),点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=90度.当CQ=1时,写出线段BP的长(不需要计算过程,请直接写出结果).
▼优质解答
答案和解析
(1)①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP,∠APQ=∠ABC,
∴∠BAP=∠CQP.(1分)
又∵AB=AC,∴∠B=∠C.(1分)
∴△CPQ∽△BAP.(1分)
CQ
BP
CP
AB
.(1分)
∵AB=AC=5,BC=8,BP=6,CP=8-6=2,(1分)
CQ
6
2
5
CQ=
12
5
.(1分)

②若点P在线段CB上,由(1)知
CQ
BP
CP
AB

∵BP=x,BC=8,∴CP=BC-BP=8-x,
又∵CQ=y,AB=5,∴
y
x
8−x
5
,即y=−
1
5
x2+
8
5
x.
故所求的函数关系式为y=−
1
5
x2+
8
5
x,(0<x<8).(2分)
若点P在线段CB的延长线上,如图.
∵∠APQ=∠APB+∠CPQ,
∠ABC=∠APB+∠PAB,∠APQ=∠ABC,
∴∠CPQ=∠PAB.
又∵∠ABP=180°-∠ABC,∠PCQ=180°-∠ACB,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABP=∠PCQ.∴△QCP∽△PBA.∴
BP
CQ
AB
PC
.(1分)
∵BP=x,CP=BC+BP=8+x,AB=5,CQ=y,
x
y
5
8+x
,即y=
1
5
x2+
8
5
x(x≥8).(1分)

(2)①当点P在线段BC上,
∵∠APQ=90°,
∴∠APB+∠QPC=90°,
∵∠PAB+∠APB=90°,
∴∠PAB=∠QPC,
∵∠B=∠C=90°,
∴△ABP∽△PCQ,
∴AB:PC=BP:CQ,
即5:(5-BP)=BP:1,
解得:BP=
5+
5
2
,或BP=
5−
5
2
,(2分)
②当点P在线段BC的延长线上,则点Q在线段DC的延长线上,
同理可得:△ABP∽△PCQ,
∴AB:PC=BP:CQ,
∴5:(BP-5)=BP:1,
解得: