（2014•丹东）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方

Question

（2014•丹东）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC₁、BD₁，AC₁与BD₁交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC₁≌△BOD₁．
②请直接写出AC₁ 与BD₁的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC₁=kBD₁．判断AC₁与BD₁的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD₁，设AC₁=kBD₁．请直接写出k的值和AC₁²+（kDD₁）²的值．

Answer 1

（1）①证明：如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OD₁，∠AOC₁=∠BOD₁=90°+∠AOD₁，
在△AOC₁和△BOD₁中

OA＝OB

∠AOC1＝∠BOD1

OC1＝OD1

，
∴△AOC₁≌△BOD₁（SAS）；
②AC₁⊥BD₁；

（2）AC₁⊥BD₁．
理由如下：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=(1)/(2)AC，OD=OB=(1)/(2)BD，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=90°，
∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C₁OD₁，
∴OC₁=OC，OD₁=OD，∠COC₁=∠DOD₁，
∴OC₁=OA，OD₁=OB，∠AOC₁=∠BOD₁，
∴(OC1)/(OD1)＝(OA)/(OB)，
∴△AOC₁∽△BOD₁，
∴∠OAC₁=∠OBD₁，
又∵∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OBD₁=90°，
∴∠OAB+∠ABP+∠OAC₁=90°，
∴∠APB=90°
∴AC₁⊥BD₁；
∵△AOC₁∽△BOD₁，
∴(AC1)/(BD1)=(OA)/(OB)=((1)/(2)AC)/((1)/(2)BD)=(AC)/(BD)=(5)/(7)，
∴k=(5)/(7)；

（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC₁∽△BOD₁，
∴(AC1)/(BD1)=

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