设函数f（x）=alnx+1-a2x2-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜aa-1，求a的取值范围．

Question

设函数f（x）=alnx+(1-a)/(2)x²-bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜(a)/(a-1)，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=(a)/(x)+(1-a)x-b（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1-a）×1-b=0，解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+(1-a)/(2)x2-x，
∴f′(x)=(a)/(x)+(1-a)x-1=((1-a))/(x)(x-(a)/(1-a))(x-1)．
①当a≤(1)/(2)时，则(a)/(1-a)≤1，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x₀≥1，使得f（x₀）＜(a)/(a-1)的充要条件是f(1)＜(a)/(a-1)，即(1-a)/(2)-1＜(a)/(a-1)，
解得-√(2)-1＜a＜√(2)-1；
②当(1)/(2)＜a＜1时，则(a)/(1-a)＞1，
则当x∈(1，(a)/(1-a))时，f′（x）＜0，函数f（x）在(1，(a)/(1-a))上单调递减；
当x∈((a)/(1-a)，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）在((a)/(1-a)，+∞)上单调递增．
∴存在x₀≥1，使得f（x₀）＜(a)/(a-1)的充要条件是f((a)/(1-a))＜(a)/(a-1)，
而f((a)/(1-a))=aln(a)/(1-a)+(a2)/(2(1-a))+(a)/(a-1)＞(a)/(a-1)，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=(1-a)/(2)-1=(-a-1)/(2)＜(a)/(a-1)，成立．
综上可得：a的取值范围是(-√(2)-1，√(2)-1)∪(1，+∞)．