数学题已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a＞0),设F(x)=f(x)+g(x)．已知函数f(x)=lnx,g(x)=a/x(a＞0),设F(x)=f(x)+g(x)．（1）求函数F(x)的单调区间；（2）若点p为函数的图象上任意一点,当x包含于(0,3]

Question

数学题已知函数f (x) = lnx,g (x) =a/x(a＞0),设F(x) = f (x) + g (x)．
已知函数f (x) = lnx,g (x) =a/x(a＞0),设F(x) = f (x) + g (x)．（1）求函数F(x)的单调区间；（2）若点p为函数的图象上任意一点,当x包含于(0,3]时,点P处的切线的斜率k≤1/2恒成立,求实数a的最小值；（3）是否存在实数m,使得函数y = g(2a/(1+x2) + m -1的图象与函数y = f (1 + x2)的图象恰有四个不同的交点?若存在,求出实数m的取值范围；若不存在,说明理由．

Answer 1

1. F(x)=f(x)+g(x)=lnx +a/x (a>0)
F'(x)=1/x - a/(x^2)=(x-a)/(x^2)
令F'(x)=0 则x=a,故F(x)在（0,a）上递减,在（a,+∞）递增.
2.由题可得F'(x)=1/x - a/(x^2)=k≤1/2 在(0,3]上恒成立,用分离系数法
移项同分之类得 a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2) （因式分解）
由于a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2) 对于x∈(0,3] 恒成立而根据二次函数的特点x=1处取最大值,故由于a≥-(x^2)/2 + x=-0.5x(x-2) 对于x∈(0,3] 恒成立时a≥-0.5*1*（-1）= 0.5
得a的最小值为0.5
3.存在.
y=g[2a/(x^2+1)]+m-1的图像与y=f(1+x^2)的图像恰好有四个不同的交点则
g[2a/(x^2+1)]+m-1=f(1+x^2)有四个不同根
即(x^2+1)/2 + m-1=ln(x^2 +1)有四个不同根 为了方便,这里先换元 令c=x^2 +1≥1
设u（c）=lnc - c/2 （c≥1） 则问题转化为y=u（c）与y=m-1 的图像是否在c＞1时有两个不同交点
（这样才能使x有4个根）
求导u'（c）=1/c -1/2 =(2-c)/(2c) 令u'（c）=0则c=1
画图观察则u（c）在（1,2）上递增,在（2,+∞）上递减
u（1）= -1/2 u（2）=ln2 -1
故只要 u（1）＜（m-1）＜u（2） 也即 -1/2＜（m-1）＜ln2-1 即 1/2＜m＜ln2
即可满足y=u（c）与y=m-1 的图像在c＞1时有两个不同交点（这样才能使x有4个根）
所以m的取值范围是1/2＜m＜ln2