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设函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R).(1)若a=2,b=-2,求函数f(x)的极值;(2)若x=1是函数f(x)的一个极值点,试求出a关于b的关系式(即用a表示b),并确定f(x)的单调区间;(提示:
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设函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R).
(1)若a=2,b=-2,求函数f(x)的极值;
(2)若x=1是函数f(x)的一个极值点,试求出a关于b的关系式(即用a表示b),并确定f(x)的单调区间;(提示:应注意对a的取值范围进行讨论)
(3)在(2)的条件下,设a>0,函数g(x)=(a2+14)ex+4.若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a的取值范围.
(1)若a=2,b=-2,求函数f(x)的极值;
(2)若x=1是函数f(x)的一个极值点,试求出a关于b的关系式(即用a表示b),并确定f(x)的单调区间;(提示:应注意对a的取值范围进行讨论)
(3)在(2)的条件下,设a>0,函数g(x)=(a2+14)ex+4.若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1成立,求a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+b)ex=[x2+(2+a)x+(a+b)]ex
当a=2,b=-2时,f(x)=(x2+2x-2)ex则f'(x)=(x2+4x)ex
令f'(x)=0得(x2+4x)ex=0,∵ex≠0∴x2+4x=0,解得x1=-4,x2=0
∵当x∈(-∞,-4)时,f'(x)>0,当x∈(-4,0)时f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时f'(x)>0
∴当x=-4时,函数f(x)有极大值,f(x)极大=
,
当x=0时,函数f(x)有极小值,f(x)极小=-2.
(2)由(1)知f'(x)=[x2+(2+a)x+(a+b)]ex
∵x=1是函数f(x)的一个极值点
∴f'(1)=0即e[1+(2+a)+(a+b)]=0,解得b=-3-2a
则f'(x)=ex[x2+(2+a)x+(-3-a)]=ex(x-1)[x+(3+a)]
令f'(x)=0,得x1=1或x2=-3-a
∵x=1是极值点,∴-3-a≠1,即a≠-4
当-3-a>1即a<-4时,由f'(x)>0得x∈(-3-a,+∞)或x∈(-∞,1)
由f'(x)<0得x∈(1,-3-a)
当-3-a<1即a>-4时,由f'(x)>0得x∈(1,+∞)或x∈(-∞,-3-a)
由f'(x)<0得x∈(-3-a,1)
综上可知:当a<-4时,单调递增区间为(-∞,1)和(-3-a,+∞),递减区间为(1,-3-a)
当a>-4时,单调递增区间为(-∞,-3-a)和(1,+∞),递减区间为(-3-a,1)
(3)由(2)知,当a>0时,f(x)在区间(0,1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调递增,
∴函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为f(1)=-(a+2)e
又∵f(0)=bex=-(2a+3)<0,f(4)=(2a+13)e4>0,
∴函数f(x)在区间[0,4]上的值域是[f(1),f(4)],即[-(a+2)e,(2a+13)e4]
又g(x)=(a2+14)ex+4在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[(a2+14)e4,(a2+14)e8]
∵(a2+14)e4-(2a+13)e4=(a2-2a+1)e4=(a-1)2e4≥0,
∴存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1
成立只须仅须(a2+14)e4-(2a+13)e4<1⇒(a−1)2e4<1⇒(a−1)2<
⇒1−
<a<1+
.
当a=2,b=-2时,f(x)=(x2+2x-2)ex则f'(x)=(x2+4x)ex
令f'(x)=0得(x2+4x)ex=0,∵ex≠0∴x2+4x=0,解得x1=-4,x2=0
∵当x∈(-∞,-4)时,f'(x)>0,当x∈(-4,0)时f'(x)<0,当x∈(0,+∞)时f'(x)>0
∴当x=-4时,函数f(x)有极大值,f(x)极大=
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当x=0时,函数f(x)有极小值,f(x)极小=-2.
(2)由(1)知f'(x)=[x2+(2+a)x+(a+b)]ex
∵x=1是函数f(x)的一个极值点
∴f'(1)=0即e[1+(2+a)+(a+b)]=0,解得b=-3-2a
则f'(x)=ex[x2+(2+a)x+(-3-a)]=ex(x-1)[x+(3+a)]
令f'(x)=0,得x1=1或x2=-3-a
∵x=1是极值点,∴-3-a≠1,即a≠-4
当-3-a>1即a<-4时,由f'(x)>0得x∈(-3-a,+∞)或x∈(-∞,1)
由f'(x)<0得x∈(1,-3-a)
当-3-a<1即a>-4时,由f'(x)>0得x∈(1,+∞)或x∈(-∞,-3-a)
由f'(x)<0得x∈(-3-a,1)
综上可知:当a<-4时,单调递增区间为(-∞,1)和(-3-a,+∞),递减区间为(1,-3-a)
当a>-4时,单调递增区间为(-∞,-3-a)和(1,+∞),递减区间为(-3-a,1)
(3)由(2)知,当a>0时,f(x)在区间(0,1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调递增,
∴函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为f(1)=-(a+2)e
又∵f(0)=bex=-(2a+3)<0,f(4)=(2a+13)e4>0,
∴函数f(x)在区间[0,4]上的值域是[f(1),f(4)],即[-(a+2)e,(2a+13)e4]
又g(x)=(a2+14)ex+4在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是[(a2+14)e4,(a2+14)e8]
∵(a2+14)e4-(2a+13)e4=(a2-2a+1)e4=(a-1)2e4≥0,
∴存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<1
成立只须仅须(a2+14)e4-(2a+13)e4<1⇒(a−1)2e4<1⇒(a−1)2<
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