已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x(a>0)的导数y=f'(x)的两个零点为-3和0.（1）求f(x)的单调区间；（2）若f(x)的极小值为-1,求f(x)的极小值.

Question

已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x (a>0) 的导数y=f'(x)的两个零点为-3和0.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)的极小值为-1,求f(x)的极小值.

Answer 1

(1)f'(x)=(ax^2+bx+c)e^x+(2ax+b)e^x=(ax^2+(2a+b)x+b+c)e^x,所以：
(a(-3)^2+(2a+b)(-3)+c)e^(-3)=0
b+c=0
a=b=-c
因为f(0)=c=-a,f(-3)=(9a-3b)e^(-3)=6ae^(-3)>0>-a=f(0)
所以f(x)的单增区间是(-∞,-3]和[0,+∞)
单减区间是(-3,0)
(2)f(x)的极小值在x=0处取得,即
f(0)=-1,所以a=b=-1,c=1