（22）（本小题满分12分）已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e^x.（Ⅰ）当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论；（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.

Question

（22）（本小题满分12分）已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e^x.（Ⅰ）当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论；（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）f '(x)=(2x-2a)e^x+(x^2-2ax)e^x
=(x^2-2(a-1)x-2a)e^x=0
∴ x^2-2(a-1)x-2a=0
x1=(a-1)-根号(a^2+1) x2=(a-1)+根号(a^2+1）
x1 x2 为二极值点为
因为 根号(a^2+1) >a ∴ x1=(a-1)-根号(a^2+1) )<0
在函数f(x)=(x2-2ax)e^x中,当 x<0时,f(x)>0 ∴ f(x1)>0
当x0 f(x)单调递增
当x1当x>x2 时 f '(x) >0 f(x)单调递增
该函数的变化趋势是：增、减、增
又因为 x=a 时,f (x) <0 说明函数值域中有负数,
∴第二个极值点 f(x2)是该函数的最小值,此时,x=x2=(a-1)+根号(a^2+1）
（Ⅱ）要使f(x)在[-1,1]上是单调函数,则f '(-1)和f '(1)同号,
f '(-1）=1+2(a-1)-2a= -1<0
f '(1）=1-2(a-1)-2a =3-4a<0
a >3/4