定义域[-1，1]的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，f(x)＝2x+x．（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（2）求函数f（x）的值域．

Question

定义域[-1，1]的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，f(x)＝2x+√(x)．   
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），则f（-x）=-2x+√(-x)
∵f（x）为[-1，1]的奇函数，∴f（-x）=-f（x）'
∴f（x）=2x-√(-x)
又∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）
∴f（-1）=0，f（1）=0
∴f（x）=

2x-√(-x)   x∈ (-1，0)

0              x=0，±1

2x+√(x)   x∈(0，1)

（2）∵x∈（0，1）时，f(x)=2x+√(x)．  
∴f′（x）=2+(1)/(2√(x))>0
∴f（x）在（0，1）上为增函数，f（x）∈（0，3）
∵f（x）为[-1，1]的奇函数，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数
∴当x∈（-1，1）时，f（x）∈（-3，3），f（±1）=0
∴函数f（x）的值域为（-3，3）