如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-14x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐

Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-(1)/(4)x²+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-4，0）．

（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

Answer 1

（1）把A（0，8），B（-4，0）代入y=-(1)/(4)x²+bx+c得

c=8

-4-4b+c=0

，解得

b=1

c=8

，
所以抛物线的解析式为y=-(1)/(4)x²+x+8；
当y=0时，-(1)/(4)x²+x+8=0，解得x₁=-4，x₂=8，
所以C点坐标为（8，0）；
（2）①连结OF，如图，设F（t，-(1)/(4)t²+t+8），
∵S_{四边形OCFD}=S_△CDF+S_△OCD=S_△ODF+S_△OCF，
∴S_△CDF=S_△ODF+S_△OCF-S_△OCD=(1)/(2)•4•t+(1)/(2)•8•（-(1)/(4)t²+t+8）-(1)/(2)•4•8
=-t²+6t+16
=-（t-3）²+25，
当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，
∵四边形CDEF为平行四边形，
∴S的最大值为50；
②∵四边形CDEF为平行四边形，
∴CD∥EF，CD=EF，
∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，
∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t-8，-(1)/(4)t²+t+12），
∵E（t-8，-(1)/(4)t²+t+12）在抛物线上，
∴-(1)/(4)（t-8）²+t-8+8=-(1)/(4)t²+t+12，解得t=7，
当t=7时，S_△CDF=-（7-3）²+25=9，
∴此时S=2S_△CDF=18．