(2014•陕西)设函数f(x)=lnx+mx,m∈R.(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)-x3零点的个数;(Ⅲ)若对任意b>a>0,f(b)−f(a)b−a<1恒
(2014•陕西)设函数f(x)=lnx+,m∈R.
(Ⅰ)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(Ⅱ)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数;
(Ⅲ)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.
答案和解析
(Ⅰ)当m=e时,f(x)=lnx+
,
∴f′(x)=;
∴当x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上是减函数;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上是增函数;
∴x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2;
(Ⅱ)∵函数g(x)=f′(x)-=--(x>0),
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0);
设φ(x)=-x3+x(x≥0),
∴φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1);
当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上是增函数,
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上是减函数;
∴x=1是φ(x)的极值点,且是极大值点,
∴x=1是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ(1)=;
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象,如图
;
可知:
①当m>时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
综上,当m>时,函数g(x)无零点;
当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
当0<m<时,函数g(x)有两个零点;
(Ⅲ)对任意b>a>0,<1恒成立,
等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立;
设h(x)=f(x)-x=lnx+-x(x>0),
∴h(x)在(0,+∞)上单调递减;
∵h′(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,
∴m≥-x2+x=-(x−)2+(x>0),
∴m≥
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