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（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+mx，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-x3零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，f(b)−f(a)b−a＜1恒

题目详情

（2014•陕西）设函数f（x）=lnx+

，m∈R．
（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）-

零点的个数；
（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，

f(b)−f(a)

b−a

＜1恒成立，求m的取值范围．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+

，
∴f′（x）=

x−e

；
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；
∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+

=2；
（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-

（x＞0），
令g（x）=0，得m=-

x³+x（x＞0）；
设φ（x）=-

x³+x（x≥0），
∴φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=1是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）=

；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图

；
可知：
①当m＞

时，函数g（x）无零点；
②当m=

时，函数g（x）有且只有一个零点；
③当0＜m＜

时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
综上，当m＞

时，函数g（x）无零点；
当m=

或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜

时，函数g（x）有两个零点；
（Ⅲ）对任意b＞a＞0，

f(b)−f(a)

b−a

＜1恒成立，
等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；
设h（x）=f（x）-x=lnx+

-x（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=

-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=-(x−

)2+

（x＞0），
∴m≥