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对于函数f(x)=sinπx,x∈[0,2]12f(x−2),x∈(2,+∞),有下列4个命题:①任取x1、x2∈[0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立;②f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*),对于一切x∈[0,+∞)恒成立;
题目详情
对于函数f(x)=
,有下列4个命题:
①任取x1、x2∈[0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立;
②f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*),对于一切x∈[0,+∞)恒成立;
③对任意x>0,不等式f(x)≤
恒成立,则实数k的取值范围是[
,+∞).
④函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点;
则其中所有真命题的序号是______.
|
①任取x1、x2∈[0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立;
②f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*),对于一切x∈[0,+∞)恒成立;
③对任意x>0,不等式f(x)≤
k |
x |
9 |
8 |
④函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点;
则其中所有真命题的序号是______.
▼优质解答
答案和解析
①任取x1、x2∈[0,+∞),
当x1、x2∈[0,2],|f(x1)-f(x2)|=|sinπx1-sinπx2|≤2,
当x∈(2,+∞),f(x)=
f(x-2)=(
)nsinnπ,
综上都有任取x1、x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,①正确;
②∵f(x)=
f(x-2),∴f(x+2k)=(
)kf(x),∴f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*),对于一切x∈[0,+∞)恒成立,②正确;
③对任意x>0,不等式f(x)≤
恒成立,则有k≥xf(x),|f(x)|≤1,当x→∞,xf(x)→∞,则实数k的取值范围是[
,+∞)错误.
④函数y=f(x)-ln(x-1)的定义域为(1,+∞),
当x=2时,y=sin2π-ln1=0,
而f(x)=sinπx是周期为2的类正线曲线;当x>2时,f(x+2k)=(
)kf(x),图象只发生振幅变化,
y=ln(x-1)为对数函数y=lnx图象向右平移1个单位得到,过定点(2,0),
做上述两函数图象可知:当1<x<2以及x>2时两图象各有一交点,
则f(x)=有3个零点正确;
故答案为:①②④.
当x1、x2∈[0,2],|f(x1)-f(x2)|=|sinπx1-sinπx2|≤2,
当x∈(2,+∞),f(x)=
1 |
2 |
1 |
2 |
综上都有任取x1、x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤2恒成立,①正确;
②∵f(x)=
1 |
2 |
1 |
2 |
③对任意x>0,不等式f(x)≤
k |
x |
9 |
8 |
④函数y=f(x)-ln(x-1)的定义域为(1,+∞),
当x=2时,y=sin2π-ln1=0,
而f(x)=sinπx是周期为2的类正线曲线;当x>2时,f(x+2k)=(
1 |
2 |
y=ln(x-1)为对数函数y=lnx图象向右平移1个单位得到,过定点(2,0),
做上述两函数图象可知:当1<x<2以及x>2时两图象各有一交点,
则f(x)=有3个零点正确;
故答案为:①②④.
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