设α（x）=∫x20ln(1+t2)dt，β（x）=x5+7x7，γ（x）=arctanx-arcsinx，当x→0时，按照前面一个比后面一个为高阶无穷小的排列次序为（）A．α，β，γB．β，α，γC．γ，α，βD．α，γ，β

Question

设α（x）=

∫

x2 0

ln(1+t2)dt，β（x）=x⁵+7x⁷，γ（x）=arctanx-arcsinx，当x→0时，按照前面一个比后面一个为高阶无穷小的排列次序为（　　）

A．α，β，γ
B．β，α，γ
C．γ，α，β
D．α，γ，β

Answer 1

∵

lim

x→0

(α(x))/(β(x))＝

lim

x→0

(∫x20ln(1+t2)dt)/(x5)
=

lim

x→0

(ln(1+x4)•2x)/(5x4)＝

lim

x→0

(x4•2x)/(5x4)＝0，
∴α（x）是β（x）的高阶无穷小．
∵

lim

x→0

(β(x))/(γ(x))＝

lim

x→0

(x5)/(arctanx−arcsinx)
=

lim

x→0

(5x4)/((1)/(1+x2)−(1)/(√(1−x2)))
=

lim

x→0

(5x4(1+x2)√(1−x2))/(√(1−x2)−x2−1)
=

lim

x→0

(5x2(1+x2)√(1−x2))/(√((1)/(x2)−1)−1−(1)/(x2))＝∞，
∴β（x）是γ（x）的高阶无穷小．
故高阶无穷小由高阶到低阶的排列顺序为：α，β，γ．
故答案选：A．