请教一道有关自然数的题目对任意正整数n,用S(n)表示满足不定方程1/x+1/y=1/n的正整数对(x,y)的个数,例如,满足1/x+1/y=1/2的正整数对有(6,3),(4,4),(3,6)三个,则S(2)=3．求出使得S(n)=2007的所有正整

Question

请教一道有关自然数的题目
对任意正整数n,用S(n)表示满足不定方程1/x + 1/y =1/n 的正整数对(x,y) 的个数,例如,满足1/x+1/y=1/2的正整数对有(6,3),(4,4) ,(3,6)三个,则S(2)=3 ．求出使得S(n)=2007的所有正整数n．

Answer 1

/x+1/y=1/n
x=n+[(n^2)/(y-n)]
要使x,y为正整数,则必须且只须n^2能被y-n整除.
即y-n是n^2的一个因子（包含1和n^2本身）
所以n^2的每一个因子对应一个y,每一个y又对应一个x,
且解的个数s(n)=2007,所以知道,n^2有且仅有2007个因子.
设n的标准分解为：n=(p1^a1)*(p2^a2)*...*(pn^an)
其中pi是不同的质数,ai是pi的指数.
则n^2=(p1^2a1)*(p2^2a2)*...*(pn^2an)
所以n^2的因子总共有(2a1+1)*(2a2+1)*...*(2an+1)个
由题意,(2a1+1)*(2a2+1)*...*(2an+1)=2007
因为2007共有四种分解,即：
2007=1*2007
2007=3*3*223
2007=9*223
2007=3*669
所以解得：
1、a1=1003
2、a1=1,a2=1,a3=111
3、a1=4,a2=111
4、a1=1,a2=334
于是正整数n可以表示成如下四种形式：
1、n=p1^1003
2、n=p1*p2*(p3^111)
3、n=(p1^4)*(p2^111)
4、n=p1*(p2^334)