设f(x)=(x-a)^n*g(x),g(x)在x=a临域内有（n-1)阶连续的到函数,证明：f(x)的n阶导数=n!*g(x)

Question

设f(x)=(x-a)^n*g(x),g(x)在x=a临域内有（n-1)阶连续的到函数,证明：f(x)的n阶导数=n!*g(x)

Answer 1

f(x)的n阶导数=∑[(x-a)^n]的k阶导数*g(x)的（n-k）阶导数
因为在x=a临域内g(x)有（n-1)阶连续的到函数,所以f（x）的n阶导数 也只能是在x=a临域内存在.
(x-a)^n的1到n-1阶导数最后还剩（x-a）项,
x=a时,这些项=0,
(x-a)^n的n阶导数就是n!
最后f(x)的n阶导数就剩下一项不为0就是：n!*g(x)